यदि x cdot sin(pi x) = int_{0}^{x^2} f(t) , d | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $x \cdot \sin(\pi x) = \int_{0}^{x^2} f(t) \, dt$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करते हुए): $\frac{d}{dx} [

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$\frac{\pi}{2}$

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(A) दिया गया समीकरण: $x \cdot \sin(\pi x) = \int_{0}^{x^2} f(t) \, dt$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करते हुए): $\frac{d}{dx} [x \cdot \sin(\pi x)] = \frac{d}{dx} \int_{0}^{x^2} f(t) \, dt$. बाएँ पक्ष में गुणन नियम और दाएँ पक्ष में कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करने पर: $1 \cdot \sin(\pi x) + x \cdot \cos(\pi x) \cdot \pi = f(x^2) \cdot 2x$. $\sin(\pi x) + \pi x \cos(\pi x) = 2x \cdot f(x^2)$. $f(4)$ ज्ञात करने के लिए,$x^2 = 4$ रखने पर,अर्थात $x = 2$ या $x = -2$. स्थिति $1$: $x = 2$ रखने पर: $\sin(2\pi) + 2\pi \cos(2\pi) = 4 \cdot f(4)$. $0 + 2\pi(1) = 4 \cdot f(4) \implies f(4) = \frac{\pi}{2}$. स्थिति $2$: $x = -2$ रखने पर: $\sin(-2\pi) - 2\pi \cos(-2\pi) = -4 \cdot f(4)$. $0 - 2\pi(1) = -4 \cdot f(4) \implies f(4) = \frac{\pi}{2}$. अतः,$f(4)$ का मान $\frac{\pi}{2}$ है।

यदि $x \cdot \sin(\pi x) = \int_{0}^{x^2} f(t) \, dt$ जहाँ $f$ एक सतत फलन है,तो $f(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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