$0.125125125 \dots$ નું અપૂર્ણાક મૂલ્ય શોધો.

એક કણ ઉગમબિંદુથી શરૂઆત કરે છે અને $1$ એકમ આડા જમણી તરફ ખસે છે અને $P_{1}$ પર પહોંચે છે, પછી તે $\frac{1}{2}$ એકમ ઊભી ઉપરની તરફ ખસે છે અને $P_{2}$ પર પહોંચે છે, પછી તે $\frac{1}{4}$ એકમ આડા જમણી તરફ ખસે છે અને $P_{3}$ પર પહોંચે છે, પછી તે $\frac{1}{8}$ એકમ ઊભી નીચેની તરફ ખસે છે અને $P_{4}$ પર પહોંચે છે, પછી તે $\frac{1}{16}$ એકમ આડા જમણી તરફ ખસે છે અને $P_{5}$ પર પહોંચે છે અને આ રીતે આગળ વધે છે. ધારો કે $P_{n} = (x_{n}, y_{n})$ અને $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \alpha$ અને $\lim_{n \rightarrow \infty} y_{n} = \beta$. તો, $(\alpha, \beta)$ શું છે?

ધારો કે ધન સંખ્યાઓ $a_1, a_2, a_3, a_4$ અને $a_5$ એ $G$.$P$. માં છે. તેમનો મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $\frac{31}{10}$ અને $\frac{m}{n}$ છે,જ્યાં $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે. જો તેમના વ્યસ્તનો મધ્યક $\frac{31}{40}$ હોય અને $a_3+a_4+a_5=14$ હોય,તો $m+n$ ની કિંમત $.........$ થાય.

પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ હોય તેવી સમગુણોત્તર શ્રેણી લો. જો $A$ અને $H$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદો માટે અનુક્રમે સમાંતર મધ્યક અને સ્વરિત મધ્યક હોય,તો $A \cdot H = \dots$

જો $x, G_1, G_2, y$ એ $G.P.$ ના ક્રમિક પદો હોય,તો $G_1 G_2$ ની કિંમત શું થાય?

ગણ $\{3^1, 3^2, 3^3, \dots, 3^{20}\}$ માંથી ત્રણ સંખ્યાઓ પસંદ કરવામાં આવે છે. પસંદ કરેલી સંખ્યાઓ વધતું $G.P.$ બનાવે તેવી રીતોની સંખ્યા શોધો.