જો સમાંતર શ્રેણીનું $n$ મું પદ $t_n$ હોય અને $t_7 = 9$ હોય,તો સામાન્ય તફાવત $d$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે જે ગુણાકાર $t_1 t_2 t_7$ ને લઘુત્તમ બનાવે?

એક $A$.$P$. ના પ્રથમ દસ પદોનો સરવાળો $160$ છે અને એક $G$.$P$. ના પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $8$ છે. જો $A$.$P$. નું પ્રથમ પદ $G$.$P$. ના સામાન્ય ગુણોત્તર જેટલું હોય અને $G$.$P$. નું પ્રથમ પદ $A$.$P$. ના સામાન્ય તફાવત જેટલું હોય, તો $G$.$P$. ના પ્રથમ પદના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$1$ થી $2021$ સુધીના પૂર્ણાંકોને જો $123 \dots 91011 \dots 20202021$ જેવી એક જ સંખ્યા તરીકે લખવામાં આવે,તો પરિણામી સંખ્યામાં ડાબેથી ગણતા $2021^{st}$ અંક કયો હશે?

જો $m$ એ બે ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $l$ અને $n$ $(l, n > 1)$ નો $A.M.$ હોય અને $G_1, G_2, G_3$ એ $l$ અને $n$ વચ્ચેના ત્રણ ગુણોત્તર મધ્યકો હોય,તો $G_1^4 + 2G_2^4 + G_3^4$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $a_{1}=1$ અને $n \ge 1$ માટે, $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$. તો $|\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}-\frac{2}{n^{2}})|$ ની કિંમત ........... થાય.

પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,ધારો કે $a_{n} = 19^{n} - 12^{n}$. તો,$\frac{31 a_{9} - a_{10}}{57 a_{8}}$ ની કિંમત શોધો.