$CORGOO$ शब्द से कोई भी $4$ अक्षर कितने तरीकों से चुने जा सकते हैं?

$12$ पदों के लिए $25$ उम्मीदवार हैं,जिनमें से $5$ आरक्षित श्रेणी के हैं। यदि $3$ पद आरक्षित हैं और शेष पद सामान्य (खुले) हैं,तो चयन कितने तरीकों से किया जा सकता है?

वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक जो सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए $(n+16)(n+17)(n+18)(n+19)$ को विभाजित करता है,है

$9$ महिलाओं और $8$ पुरुषों में से $12$ सदस्यों की एक समिति इस प्रकार बनाई जानी है कि उसमें कम से कम $5$ महिलाएं हों। उन तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि महिलाएं बहुमत में हों और उन तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि पुरुष बहुमत में हों,क्रमशः।

यदि $n > 2023$ के लिए $N(n) = n \prod_{r=1}^{2023} (n^2 - r^2)$ है,तो $n = 2024$ होने पर ${}^{N}C_{N-1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक उम्मीदवार को $12$ प्रश्नों में से $6$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं, जो दो भागों $A$ और $B$ में विभाजित हैं, प्रत्येक में $6$ प्रश्न हैं। उम्मीदवार को किसी भी भाग से $4$ से अधिक प्रश्नों का प्रयास करने की अनुमति नहीं है। वह कितने अलग-अलग तरीकों से $6$ प्रश्नों का चयन कर सकता है?