$\sum\limits_{1 < p < 100} {p! - \sum\limits_{n = 1}^{50} {(2n)!} }$ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।

शब्द $\text{MATHS}$ के अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले $6$-अक्षरों वाले शब्दों (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) की संख्या ज्ञात कीजिए,जिसमें प्रयुक्त प्रत्येक अक्षर कम से कम दो बार आए।

मान लीजिए $S_1 = \{(i, j, k) : i, j, k \in \{1, 2, \ldots, 10\}\}$,$S_2 = \{(i, j) : 1 \leq i < j + 2 \leq 10, i, j \in \{1, 2, \ldots, 10\}\}$,$S_3 = \{(i, j, k, l) : 1 \leq i < j < k < l, i, j, k, l \in \{1, 2, \ldots, 10\}\}$,$S_4 = \{(i, j, k, l) : i, j, k \text{ और } l \text{ समुच्चय } \{1, 2, \ldots, 10\} \text{ में भिन्न अवयव हैं}\}$. यदि समुच्चय $S_r$ में अवयवों की कुल संख्या $n_r$ है,जहाँ $r = 1, 2, 3, 4$,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A) n_1 = 1000$
$(B) n_2 = 44$
$(C) n_3 = 220$
$(D) \frac{n_4}{12} = 420$

यदि $^n{P_4} = 30 \times {^n}{C_5}$ है,तो $n = $

व्यंजक ${ }^{47} C_4 + \sum_{j=1}^5 { }^{52-j} C_3$ का मान है

यदि $n$ एक पूर्णांक है जहाँ $0 \leq n \leq 11$,तो $n!(11-n)!$ का न्यूनतम मान $n$ के किस मान पर प्राप्त होता है?