एक परीक्षा में $3$ बहुविकल्पीय प्रश्न हैं और प्रत्येक प्रश्न के $4$ विकल्प हैं। यदि कोई छात्र सभी प्रश्नों के सही उत्तर देने पर ही उत्तीर्ण होता है,तो वह कितने तरीकों से अनुत्तीर्ण हो सकता है?

$A, B, C, D, E, F, G, H, I, J$ अक्षरों का उपयोग करके $10$ लंबाई के शब्द बनाए जाते हैं। मान लीजिए $x$ ऐसे शब्दों की संख्या है जिनमें कोई अक्षर दोहराया नहीं जाता है और $y$ ऐसे शब्दों की संख्या है जिनमें ठीक दो अक्षर दो बार दोहराए जाते हैं और कोई अन्य अक्षर दोहराया नहीं जाता है,तो $\frac{y}{x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$15$ क्रमिक रूप से क्रमांकित टिकटों में से $3$ बच्चे $10$ टिकटों को इस प्रकार वितरित करते हैं कि उन्हें $5$,$3$ और $2$ टिकटों के क्रमिक ब्लॉक प्राप्त हों,तो इसके कुल कितने तरीके हैं?

यदि शब्द $MATHEMATICS$ के अक्षरों के सभी संभावित क्रमचयों की संख्या जिनमें दोहराए गए अक्षर एक साथ नहीं हैं,$90(X)$ है,तो $X=$

यदि $p$ और $q$ का $LCM$ $r^2t^4s^2$ है,जहाँ $r, s$ और $t$ अभाज्य संख्याएँ हैं और $p$ तथा $q$ धनात्मक पूर्णांक हैं,तो क्रमित युग्मों $(p, q)$ की संख्या .... है।

एक बॉक्स में $5$ नीली, $6$ पीली और $4$ लाल गेंदें हैं। $8$ गेंदों को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनमें प्रत्येक रंग की कम से कम दो गेंदें हों: