$6$ પુસ્તકોમાંથી એક કે તેથી વધુ પુસ્તકો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $^nC_3 + ^nC_4 > ^{n+1}C_3$ હોય,તો

એક ટેબલ પર $6$ અલગ-અલગ નવલકથાઓ અને $3$ અલગ-અલગ કવિતાના પુસ્તકો છે. જો $4$ નવલકથાઓ અને $1$ કવિતાનું પુસ્તક પસંદ કરીને એક શેલ્ફ પર એવી રીતે ગોઠવવામાં આવે કે કવિતાનું પુસ્તક હંમેશા વચ્ચે રહે,તો આવી શક્ય ગોઠવણીઓની સંખ્યા કેટલી છે?

એક લોટરીમાં,એક વ્યક્તિ $1$ થી $20$ સુધીની સંખ્યાઓમાંથી યાદચ્છિક રીતે છ અલગ-અલગ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ પસંદ કરે છે. જો આ છ સંખ્યાઓ લોટરી સમિતિ દ્વારા પહેલેથી નક્કી કરેલી છ સંખ્યાઓ સાથે મેળ ખાય,તો તે વ્યક્તિ ઇનામ જીતે છે. રમતમાં ઇનામ જીતવાની સંભાવના કેટલી છે? [સૂચના: સંખ્યાઓનો ક્રમ મહત્વનો નથી.]

એક વિદ્યાર્થીએ $5$ વિકલ્પો ધરાવતા બહુવિકલ્પ પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનો છે જેમાં બે અથવા બેથી વધુ વિકલ્પો સાચા છે. તો વિદ્યાર્થી તે પ્રશ્નનો જવાબ કેટલી રીતે આપી શકે?

${}^{50}C_4 + \sum_{r=1}^{6} {}^{56-r}C_3$ ની કિંમત શોધો.