$6$ पुस्तकों में से एक या अधिक पुस्तकों का चयन करने के तरीकों की संख्या क्या है?

एक चुनाव में,एक मतदाता कितने भी उम्मीदवारों को वोट दे सकता है लेकिन चुने जाने वाले उम्मीदवारों की संख्या से अधिक नहीं। कुल $10$ उम्मीदवार हैं और $4$ को चुना जाना है। यदि मतदाता को कम से कम एक उम्मीदवार को वोट देना है,तो वह कितने तरीकों से वोट दे सकता है?

$8$ समान गेंदों को $3$ अलग-अलग बक्सों में कितनी तरह से वितरित किया जा सकता है ताकि कोई भी बक्सा खाली न रहे?

$r$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल हमेशा......से विभाज्य होता है।

छात्रवृत्ति के लिए,$2n+1$ उम्मीदवारों में से अधिकतम $n$ उम्मीदवारों का चयन किया जा सकता है। यदि छात्रवृत्ति के लिए कम से कम एक उम्मीदवार के चयन के विभिन्न तरीकों की संख्या $63$ है,तो छात्रवृत्ति के लिए चुने जा सकने वाले उम्मीदवारों की अधिकतम संख्या है -

$10$ गेंदों को दो लड़कों के बीच कितनी तरह से विभाजित किया जा सकता है,ताकि एक को $2$ गेंदें और दूसरे को $8$ गेंदें मिलें?