$8$ पुरुषों और $4$ महिलाओं में से $6$ सदस्यों की एक समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है ताकि समिति में कम से कम $3$ महिलाएं हों?

$4$ पुरुषों और $6$ महिलाओं में से एक समिति चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि समिति में कम से कम $2$ पुरुष हों और महिलाओं की संख्या पुरुषों की संख्या से ठीक दोगुनी हो।

$10$ सदस्यों में से $6$ सदस्यों की एक समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है,जिसमें हमेशा एक विशिष्ट सदस्य शामिल हो?

$5$ अलग-अलग हरे खिलौने,$4$ अलग-अलग नीले खिलौने और $3$ अलग-अलग लाल खिलौने दिए गए हैं,तो कम से कम एक हरा और एक नीला खिलौना लेकर खिलौनों के कितने संयोजन चुने जा सकते हैं?

एक लड़के को $12$ उपलब्ध पाठ्यक्रमों में से पाँच पाठ्यक्रमों का चयन करना है,जिनमें से $5$ भाषा पाठ्यक्रम हैं। यदि वह अधिकतम दो भाषा पाठ्यक्रमों का चयन कर सकता है,तो वह कितने तरीकों से पाँच पाठ्यक्रमों का चयन कर सकता है?

एक परीक्षक $8$ प्रश्नों के लिए $30$ अंक आवंटित कर सकता है। यदि वह किसी भी प्रश्न को $2$ से कम अंक नहीं देता है,तो वह कितने तरीकों से अंक आवंटित कर सकता है?