$12$ गेंदों को दो दोस्तों के बीच कितने तरीकों से वितरित किया जा सकता है कि एक को $8$ गेंदें और दूसरे को $4$ गेंदें मिलें?

समीकरण $x + y + z = 100$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की क्रमित त्रिकों (ordered triplets) की संख्या क्या है?

$3$ समान गेंदों को $7$ अलग-अलग डिब्बों में वितरित करने के तरीकों की संख्या है

यदि समुच्चय $A$ में $8$ अवयव हैं,तो $A$ के उन उपसमुच्चयों की संख्या जिनमें कम से कम $6$ अवयव हों,क्या होगी?

मान लीजिए $n$ और $k$ ऐसे धनात्मक पूर्णांक हैं कि $n \ge \frac{k(k + 1)}{2}$ है। $x_1 + x_2 + ... + x_k = n$ को संतुष्ट करने वाले $(x_1, x_2, ..., x_k)$ हलों की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $x_1 \ge 1, x_2 \ge 2, ..., x_k \ge k$ सभी पूर्णांक हैं।

एक छात्र को परीक्षा में $13$ में से $10$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं। यदि उसे पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $3$ प्रश्नों के उत्तर देने ही हैं,तो वह कितने तरीकों से उत्तर दे सकता है?