$(1!)^2 + (2!)^2 + (3!)^2 + \dots + (100!)^2$ को $10^2$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात कीजिए।

एक आदमी के $7$ रिश्तेदार हैं: $4$ महिलाएँ और $3$ पुरुष। उसकी पत्नी के भी $7$ रिश्तेदार हैं: $3$ महिलाएँ और $4$ पुरुष। वे $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों की डिनर पार्टी के लिए कितने तरीकों से आमंत्रित कर सकते हैं,ताकि $3$ आदमी के रिश्तेदार और $3$ पत्नी के रिश्तेदार हों?

$5$-अंकीय ऐसी कितनी प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिनके अंकों का गुणनफल $36$ है?

यदि $x$ और $y$ शब्द $ATRAPATRAM$ के अक्षरों के उन विन्यासों की संख्या को दर्शाते हैं जिनमें $(i)$ सभी $A$ एक साथ हैं और $(ii)$ कोई भी दो $A$ एक साथ नहीं हैं,तो $x+y$ किसके बराबर है?

$3$-$digit$ की ऐसी कितनी विषम संख्याएँ हैं,जिनके अंकों का योग $7$ का गुणज है?

$15$ सेबों को तीन व्यक्तियों $A, B, C$ में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि $A$ और $C$ में से प्रत्येक को कम से कम $2$ सेब मिलें और $B$ को अधिकतम $5$ सेब मिलें।