मान लीजिए $A, B,$ और $C$ तीन स्वतंत्र घटनाएँ हैं जैसे कि $P(A) = 1/3, P(B) = 1/2,$ और $P(C) = 1/4$ है। $3$ घटनाओं में से ठीक $2$ घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

यदि एक निष्पक्ष छह-पक्षीय पासे के दो बार फेंकने पर प्राप्त संख्याएँ $\alpha$ और $\beta$ हैं,तो सभी $x \in R$ के लिए $x^{2}+\alpha x+\beta > 0$ होने की प्रायिकता क्या है?

एक थैले में $2$ सफेद,$3$ हरी और $5$ लाल गेंदें हैं। यदि तीन गेंदें एक के बाद एक बिना प्रतिस्थापन के निकाली जाती हैं,तो अंतिम निकाली गई गेंद के लाल होने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए $\alpha$,$x^2+x+1=0$ का एक मूल है और मान लीजिए कि एक निष्पक्ष पासे को $3$ बार फेंका जाता है। यदि $a, b,$ और $c$ पासे पर दिखाई देने वाली संख्याएँ हैं,तो $\alpha^a+\alpha^b+\alpha^c=0$ होने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए $B_{i} (i=1, 2, 3)$ एक प्रतिदर्श समष्टि में तीन स्वतंत्र घटनाएँ हैं। केवल $B_{1}$ के घटित होने की प्रायिकता $\alpha$ है,केवल $B_{2}$ के घटित होने की प्रायिकता $\beta$ है और केवल $B_{3}$ के घटित होने की प्रायिकता $\gamma$ है। मान लीजिए $p$ वह प्रायिकता है कि कोई भी घटना $B_{i}$ घटित नहीं होती है और ये $4$ प्रायिकताएँ समीकरणों $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ और $(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ को संतुष्ट करती हैं (सभी प्रायिकताएँ अंतराल $(0, 1)$ में स्थित मानी गई हैं)। तो $\frac{P(B_{1})}{P(B_{3})}$ का मान .......... है।

बॉक्स $1$ में $1, 2, 3$ नंबर वाले तीन कार्ड हैं; बॉक्स $2$ में $1, 2, 3, 4, 5$ नंबर वाले पांच कार्ड हैं; और बॉक्स $3$ में $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ नंबर वाले सात कार्ड हैं। प्रत्येक बॉक्स से एक कार्ड निकाला जाता है। मान लीजिए $x_i$ $i$-वें बॉक्स से निकाले गए कार्ड पर की संख्या है,$i = 1, 2, 3$.
$1.$ $x_1 + x_2 + x_3$ विषम होने की प्रायिकता है:
$(A) \frac{29}{105}$ $(B) \frac{53}{105}$ $(C) \frac{57}{105}$ $(D) \frac{1}{2}$
$2.$ $x_1, x_2, x_3$ के समांतर श्रेणी में होने की प्रायिकता है:
$(A) \frac{9}{105}$ $(B) \frac{10}{105}$ $(C) \frac{11}{105}$ $(D) \frac{7}{105}$
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।