બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,જો $P(A) = P(A|B) = \frac{1}{4}$ અને $P(B|A) = \frac{1}{2}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
વિધાન $(A)$: જો $P_1, P_2, P_3$ એ ત્રણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ બનવાની સંભાવનાઓ હોય, તો તેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બનવાની સંભાવના $1 - [(1 - P_1)(1 - P_2)(1 - P_3)]$ છે.
કારણ $(R)$: કોઈપણ ત્રણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ $A, B$ અને $C$ માટે, $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A)P(B) - P(A)P(C) - P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)$.
નીચેનામાંથી સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો:

$A$ અને $B$ બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે. $A$ અને $B$ બંને ઉદ્ભવે તેની સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે અને બંનેમાંથી એક પણ ન ઉદ્ભવે તેની સંભાવના $\frac{1}{3}$ છે. તો આ બે ઘટનાઓની સંભાવના અનુક્રમે કેટલી થાય?

$50$ સ્ક્રૂના જથ્થામાંથી $5$ ખામીયુક્ત સ્ક્રૂ છે. જો $3$ સ્ક્રૂ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે,તો ત્રણેય સ્ક્રૂ ખામી રહિત હોય તેની સંભાવના $(a)$ પુરવણી સહિત અને $(b)$ પુરવણી રહિત પસંદગી માટે અનુક્રમે કેટલી થાય?

$S$ એ નિદર્શાવકાશ છે અને $A, B$ એ યાદચ્છિક પ્રયોગની બે ઘટનાઓ છે. યાદી-$A$ ની વસ્તુઓને યાદી-$B$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો.

યાદી-$A$	યાદી-$B$
$(I)$ $A, B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે	$(i)$ $P(A \cap B) = P(B) - P(\bar{A})$
$(II)$ $A, B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે	$(ii)$ $P(A) \leq P(B)$
$(III)$ $A \cap B = A$	$(iii)$ $P(\frac{\bar{A}}{B}) = 1 - P(A)$
$(IV)$ $A \cup B = S$	$(iv)$ $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
	$(v)$ $P(A) + P(B) = 2$

સ્તંભ-$I$ માં આપેલા વિધાનોને સ્તંભ-$II$ સાથે જોડો.

સ્તંભ-$I$	સ્તંભ-$II$
$(A)$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક રેખા રેખાઓ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{1}$ અને $\frac{x-\frac{8}{3}}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-1}{1}$ ને અનુક્રમે $P$ અને $Q$ માં મળે છે. જો લંબાઈ $PQ=d$ હોય,તો $d^2$ છે	$(p)$ $-4$
$(B)$ $\tan ^{-1}(x+3)-\tan ^{-1}(x-3)=\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ નું સમાધાન કરતા $x$ ના મૂલ્યો છે	$(q)$ $0$
$(C)$ શૂન્યતર સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ એ $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$,$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\vec{b}+\vec{c})=0$ અને $2|\vec{b}+\vec{c}|=|\vec{b}-\vec{a}|$ નું સમાધાન કરે છે. જો $\vec{a}=\mu \vec{b}+4 \vec{c}$ હોય,તો $\mu$ ના શક્ય મૂલ્યો છે	$(r)$ $4$
$(D)$ ધારો કે $f$ એ $[-\pi, \pi]$ પરનું વિધેય છે,જ્યાં $f(0)=9$ અને $x \neq 0$ માટે $f(x)=\frac{\sin \left(\frac{9 x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}$ છે. $\frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) dx$ નું મૂલ્ય છે	$(s)$ $5$
	$(t)$ $6$