समतल x + 2y - 3z + 4 = 0 के अभिलंब की दिक्-को | vedclass

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Question

(A) समतल का समीकरण $x + 2y - 3z + 4 = 0$ है। इसे व्यापक रूप $Ax + By + Cz + D = 0$ से तुलना करने पर,हमें अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 2, -3)$ प्राप्त हो

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$-\frac{1}{\sqrt{14}}, -\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}$

Vedclass · Answer

(A) समतल का समीकरण $x + 2y - 3z + 4 = 0$ है। इसे व्यापक रूप $Ax + By + Cz + D = 0$ से तुलना करने पर,हमें अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 2, -3)$ प्राप्त होता है। अभिलंब सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ है। दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ को $\frac{A}{|\vec{n}|}, \frac{B}{|\vec{n}|}, \frac{C}{|\vec{n}|}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है। अतः,दिक्-कोसाइन $\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}}$ हैं। वैकल्पिक रूप से,समीकरण को $-1$ से गुणा करने पर,हमें $-x - 2y + 3z - 4 = 0$ प्राप्त होता है,जिसकी दिक्-कोसाइन $-\frac{1}{\sqrt{14}}, -\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}$ हैं। दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $A$ सही है।

समतल $x + 2y - 3z + 4 = 0$ के अभिलंब की दिक्-कोसाइन क्या हैं?

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यदि समतल $\vec{r} \cdot (p \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}) + 3 = 0$ और $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} - p \hat{j} - \hat{k}) - 5 = 0$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

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