જો સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણના ત્રણ ક્રમિક શિરોબિંદુઓ $A(1, 2, 3)$,$B(-1, -2, -1)$ અને $C(2, 3, 2)$ હોય,તો તેનું ચોથું શિરોબિંદુ શોધો:

ધારો કે $ABCD$ એક ચતુષ્ફલક છે જેમાં તેના દરેક શિરોબિંદુઓના યામ સમાન સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણીમાં છે. જો ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $(2, 3, k)$ હોય,તો ઉગમબિંદુથી $G$ નું અંતર કેટલું થાય?

$AB$ અને $BC$ એ લંબચોરસ પેટીના પાસપાસેના ફલકોના વિકર્ણો છે,જેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે અને તેની ધાર યામ અક્ષોને સમાંતર છે. જો ખૂણાઓ $\angle BOC, \angle COA$ અને $\angle AOB$ અનુક્રમે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ હોય,તો $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma$ ની કિંમત શું થાય?

બિંદુ $P(3, 8, 2)$ નું રેખા $\frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-2}{3}$ થી સમતલ $3x + 2y - 2z + 15 = 0$ ને સમાંતર દિશામાં માપેલું અંતર શોધો.

ચતુષ્ફલક $ABCD$ ની બાજુઓની લંબાઈ $AB = CD = 12$ છે. આ ધાર એકબીજાને લંબ છે. ધારો કે $E$ અને $F$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. જો $EF = 10$ હોય અને તે $AB$ અને $CD$ બંનેને લંબ હોય,તો ચતુષ્ફલક $ABCD$ નું ઘનફળ શોધો.

બિંદુ $P(1,3,2)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-6}{1}$ ને સમાંતર એક સીધી રેખા,સમતલ $L_1: x-y+3z=6$ ને બિંદુ $Q$ માં છેદે છે. બીજી એક સીધી રેખા જે $Q$ માંથી પસાર થાય છે અને સમતલ $L_1$ ને લંબ છે,તે સમતલ $L_2: 2x-y+z=-4$ ને બિંદુ $R$ માં છેદે છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ $\sqrt{6}$ છે
$(B)$ $R$ ના યામ $(1,6,0)$ છે
$(C)$ ત્રિકોણ $PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{4}{3}, \frac{14}{3}, \frac{5}{3}\right)$ છે
$(D)$ ત્રિકોણ $PQR$ ની પરિમિતિ $\sqrt{6}+\sqrt{13}+\sqrt{11}$ છે