रेखाओं vec{r} = (hat{i} + hat{j} - hat{k}) + | vedclass

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Question

(A) दी गई रेखाओं पर स्वेच्छ बिंदुओं के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:रेखा $1$: $\vec{r} = (3\lambda + 1)\hat{i} + (1 - \lambda)\hat{j} - \hat{k}$रेखा $2$:

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$(4, 0, -1)$

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(A) दी गई रेखाओं पर स्वेच्छ बिंदुओं के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:रेखा $1$: $\vec{r} = (3\lambda + 1)\hat{i} + (1 - \lambda)\hat{j} - \hat{k}$रेखा $2$: $\vec{r} = (2\mu + 4)\hat{i} + 0\hat{j} + (3\mu - 1)\hat{k}$यदि रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं,तो $\lambda$ और $\mu$ के कुछ मानों के लिए उनका एक उभयनिष्ठ बिंदु होना चाहिए:$(3\lambda + 1)\hat{i} + (1 - \lambda)\hat{j} - \hat{k} = (2\mu + 4)\hat{i} + 0\hat{j} + (3\mu - 1)\hat{k}$घटकों की तुलना करने पर:$3\lambda + 1 = 2\mu + 4$  $(i)$$1 - \lambda = 0$  $(ii)$$-1 = 3\mu - 1$  $(iii)$समीकरण $(ii)$ से,$\lambda = 1$ प्राप्त होता है।समीकरण $(iii)$ से,$3\mu = 0 \Rightarrow \mu = 0$ प्राप्त होता है।$\lambda = 1$ और $\mu = 0$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:$3(1) + 1 = 4$ और $2(0) + 4 = 4$। चूँकि $4 = 4$,रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$\lambda = 1$ को पहली रेखा के समीकरण में रखने पर:$\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + 1(3\hat{i} - \hat{j}) = 4\hat{i} + 0\hat{j} - \hat{k}$।अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक $(4, 0, -1)$ हैं।

रेखाओं $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + \lambda(3\hat{i} - \hat{j})$ और $\vec{r} = (4\hat{i} - \hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 3\hat{k})$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

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बिंदुओं $(a, 1, 6)$ और $(3, 4, b)$ से गुजरने वाली रेखा $yz$-समतल को $\left(0, \frac{17}{2}, \frac{-13}{2}\right)$ पर काटती है,तो $(3a + 4b)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि रेखाएँ $\frac{x - 1}{c} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 3}{4}$ और $\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 1}{c}$ समांतर हैं,तो $c = ....$

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