એક બિંદુ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી $(4, 0, 0)$ અને $(-4, 0, 0)$ થી તેના અંતરનો સરવાળો હંમેશા $10$ થાય,તો બિંદુનો બિંદુપથ શોધો:

$\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3$ એ ત્રણ સમતલો છે જે અનુક્રમે $YZ, ZX$ અને $XY$ સમતલોને સમાંતર $a, b$ અને $c$ અંતરે આવેલા છે, જે એક લંબચોરસ સમાંતરબાજુ ફલક બનાવે છે. $d_1$ એ $XY$-સમતલની એવી બાજુનો વિકર્ણ છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો નથી અને $d_2$ એ સમતલ $\Pi_2$ નો વિકર્ણ છે જે $d_1$ સાથે સામાન્ય બિંદુ ધરાવે છે. જો સમાંતરબાજુ ફલકના શિરોબિંદુઓના યામ પૈકી કોઈ પણ ઋણ ન હોય, તો $d_1$ અને $d_2$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

$P(5, -7, 0)$,$Q(a, 5, 3)$,$R(4, -6, b)$ અને $S(6, c, 2)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર $(4, -3, 2)$ છે. તો $2a + 3b + c$ ની કિંમત શોધો.

બિંદુ $P(1, 0, 3)$ માંથી બિંદુઓ $A(4, 7, 1)$ અને $B(3, 5, 3)$ ને જોડતી રેખા પર દોરેલા લંબપાદના યામ શોધો.

બિંદુ $P(1,3,2)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-6}{1}$ ને સમાંતર એક સીધી રેખા,સમતલ $L_1: x-y+3z=6$ ને બિંદુ $Q$ માં છેદે છે. બીજી એક સીધી રેખા જે $Q$ માંથી પસાર થાય છે અને સમતલ $L_1$ ને લંબ છે,તે સમતલ $L_2: 2x-y+z=-4$ ને બિંદુ $R$ માં છેદે છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ $\sqrt{6}$ છે
$(B)$ $R$ ના યામ $(1,6,0)$ છે
$(C)$ ત્રિકોણ $PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{4}{3}, \frac{14}{3}, \frac{5}{3}\right)$ છે
$(D)$ ત્રિકોણ $PQR$ ની પરિમિતિ $\sqrt{6}+\sqrt{13}+\sqrt{11}$ છે

$2a$ વિકર્ણ ધરાવતા ચોરસ $ABCD$ ને વિકર્ણ $AC$ પર એવી રીતે વાળવામાં આવે છે કે જેથી સમતલો $DAC$ અને $BAC$ કાટખૂણે હોય. $DC$ અને $AB$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર કેટલું છે?