$2a$ વિકર્ણ ધરાવતા ચોરસ $ABCD$ ને વિકર્ણ $AC$ પર એવી રીતે વાળવામાં આવે છે કે જેથી સમતલો $DAC$ અને $BAC$ કાટખૂણે હોય. $DC$ અને $AB$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર કેટલું છે?

$P$ બિંદુઓના સમૂહનું સમીકરણ શોધો,જેના $A(4, 0, 0)$ અને $B(-4, 0, 0)$ થી અંતરનો સરવાળો $10$ છે.

$a \neq 0$ માટે,જો કોઈ બિંદુ $P(x, y, z)$ નું બિંદુઓ $F_1(a, 0, 0)$ અને $F_2(-a, 0, 0)$ થી અંતરનો સરવાળો અચળ $2k$ હોય,તો તે બિંદુનો બિંદુપથ શું છે?

બિંદુ $P(1,3,2)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-6}{1}$ ને સમાંતર એક સીધી રેખા,સમતલ $L_1: x-y+3z=6$ ને બિંદુ $Q$ માં છેદે છે. બીજી એક સીધી રેખા જે $Q$ માંથી પસાર થાય છે અને સમતલ $L_1$ ને લંબ છે,તે સમતલ $L_2: 2x-y+z=-4$ ને બિંદુ $R$ માં છેદે છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ $\sqrt{6}$ છે
$(B)$ $R$ ના યામ $(1,6,0)$ છે
$(C)$ ત્રિકોણ $PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{4}{3}, \frac{14}{3}, \frac{5}{3}\right)$ છે
$(D)$ ત્રિકોણ $PQR$ ની પરિમિતિ $\sqrt{6}+\sqrt{13}+\sqrt{11}$ છે

જો એક ચલ બિંદુ $P(x, y, z)$ ના $X$-અક્ષ અને $YZ$-સમતલથી લંબ અંતરનો ગુણોત્તર $2:3$ હોય, તો $P$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ શોધો.

$k$ ના કેટલા મૂલ્યો માટે બિંદુઓ $A(-4, 9, k)$, $B(-1, 6, k)$, અને $C(0, 7, 10)$ કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે?