एक रेखा जिसके दिक्कोसाइन समान हैं,बिंदु $P(2, -1, 2)$ से गुजरती है और निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है। यह रेखा समतल $2x + y + z = 9$ को बिंदु $Q$ पर मिलती है। रेखाखंड $PQ$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

$\overrightarrow{AB} = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{CD} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ दो सदिश हैं। बिंदु $A$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $6\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k}$ और $-9\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं। रेखा $AB$ पर एक बिंदु $P$ और रेखा $CD$ पर एक बिंदु $Q$ के स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए ताकि $\overrightarrow{PQ}$,$\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CD}$ दोनों के लंबवत हो।

समतलों $\vec{r} \cdot (3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 1$ और $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}) = 2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और बिंदु $\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $(2,3,1)$ का रेखा $\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+2}{-1}$ के सापेक्ष दर्पण प्रतिबिंब से गुजरने वाले और रेखा $\frac{x-2}{3}=\frac{1-y}{2}=\frac{z+1}{1}$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण $\alpha x+\beta y+\gamma z=24$ है,तो $\alpha+\beta+\gamma$ का मान ..... है।

$a$ का वह अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रेखाओं $\vec{r}=(\hat{i}+\hat{j})+\lambda(\hat{i}+a\hat{j}-\hat{k})$ और $\vec{r}=(\hat{i}+\hat{j})+\mu(-\hat{i}+\hat{j}-a\hat{k})$ को समाहित करने वाले समतल की बिंदु $(2,1,4)$ से लंबवत दूरी $\sqrt{3}$ है।

समतलों $\overline{r} \cdot(\overline{i}-2 \overline{k})=3$ और $\overline{r} \cdot(2 \overline{j}+\overline{k})=5$ के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले तथा बिंदु $\overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}$ से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।