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Question

(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 8$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 4a$। नाभियों के

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$\frac{2}{\sqrt{3}}$

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(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 8$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 4a$। नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ है। संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b$ है। प्रश्न के अनुसार,$2b = \frac{1}{2}(2ae)$,इसलिए $b = \frac{ae}{2}$,जिसका अर्थ है $b^2 = \frac{a^2e^2}{4}$। $b^2$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $4a = \frac{a^2e^2}{4}$,इसलिए $16a = a^2e^2$,जिससे $a = \frac{16}{e^2}$ प्राप्त होता है। हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$। $b^2 = 4a$ और $a = \frac{16}{e^2}$ रखने पर: $4(\frac{16}{e^2}) = (\frac{16}{e^2})^2(e^2 - 1)$। $\frac{64}{e^2} = \frac{256}{e^4}(e^2 - 1)$। $1 = \frac{4}{e^2}(e^2 - 1) = 4 - \frac{4}{e^2}$। $\frac{4}{e^2} = 3$,इसलिए $e^2 = \frac{4}{3}$,जिससे $e = \frac{2}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है। अतः,उत्केंद्रता $\frac{2}{\sqrt{3}}$ है।

उस अतिपरवलय की उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए जिसका नाभिलंब $8$ है और जिसका संयुग्मी अक्ष नाभियों के बीच की दूरी का आधा है।

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