यदि बिंदु $(1, 1)$,$(-1, -1)$ और $(-\sqrt{3}, k)$ एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं,तो $k$ का मान क्या है?

$a$ लंबाई की प्रत्येक भुजा वाला एक वर्ग $x$-अक्ष के ऊपर स्थित है और इसका एक शीर्ष मूल बिंदु पर है। मूल बिंदु से गुजरने वाली भुजाओं में से एक भुजा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $\alpha$ $(0 < \alpha < \frac{\pi}{4})$ कोण बनाती है। वर्ग के विकर्णों के समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि बिंदु $\left(\frac{11}{2}, \alpha\right)$,$x + y = 11$,$x + 2y = 16$ और $2x + 3y = 29$ भुजाओं वाले त्रिभुज पर या उसके अंदर स्थित हैं। तो $\alpha$ के सबसे छोटे और सबसे बड़े मानों का गुणनफल किसके बराबर है?

एक समबाहु त्रिभुज का अंतःकेंद्र $(-6, 5)$ है और उसकी एक भुजा $y$-अक्ष पर स्थित है। त्रिभुज की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

$xy+2x+2y+4=0$ और $x+y+2=0$ रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या क्या है?

मान लीजिए कि $A(1, 1)$,$B(-4, 3)$,और $C(-2, -5)$ एक त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष हैं। मान लीजिए कि $P$ भुजा $BC$ पर एक बिंदु है,और $\Delta_{1}$ तथा $\Delta_{2}$ क्रमशः त्रिभुज $APB$ और $ABC$ के क्षेत्रफल हैं। यदि $\Delta_{1} : \Delta_{2} = 4 : 7$ है,तो रेखाओं $AP$,$AC$ और $x$-अक्ष द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।