दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर दो बिंदुओं $\theta_1$ और $\theta_2$ को जोड़ने वाली जीवा . . . बिंदु पर समकोण बनाती है। (यदि $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = -\frac{a^2}{b^2}$)

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नाभिलंब के सिरों के उत्केंद्र कोण (eccentric angles) निम्नलिखित में से किसके द्वारा दिए जाते हैं?

दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 = 36$ पर खींची गई लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु किस वक्र पर स्थित हैं?

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ पर स्थित बिंदु $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल $\frac{7}{4}$ है। तो ऐसे दो दीर्घवृत्तों की उत्केंद्रताओं का निरपेक्ष अंतर (absolute difference) क्या है?

बिंदु $(2, 3)$ से दीर्घवृत्त $5x^2 + 9y^2 = 32$ पर कितनी वास्तविक स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

मान लीजिए $S_{1}: x^{2}+y^{2}=9$ और $S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}=1$ है। तो एक चर वृत्त $S$ के केंद्र का बिंदु पथ,जो $S_{1}$ को आंतरिक रूप से और $S_{2}$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,हमेशा किन बिंदुओं से होकर गुजरता है: