જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિલંબના એક અંત્યબિંદુ આગળનો અભિલંબ એ પ્રધાન અક્ષના એક અંત્યબિંદુમાંથી પસાર થતો હોય,તો:

ઉપવલય $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{400}=1$ માટે નાભિના યામ,શિરોબિંદુઓ,પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ,ગૌણ અક્ષની લંબાઈ,ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $2x^2 + ay^2 - 8x - 2ay + (8 - a) = 0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે. જો આ ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષ $Y$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો $1$ ઢાળ ધરાવતા આ ઉપવલયના સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $A(\alpha, 0)$ અને $B(0, \beta)$ એ રેખા $5x + 7y = 50$ પરના બિંદુઓ છે. ધારો કે બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $7:3$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. ધારો કે $3x - 25 = 0$ એ ઉપવલય $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની નિયામિકા છે અને તેને અનુરૂપ નાભિ $S$ છે. જો $S$ માંથી $x$-અક્ષ પર દોરેલો લંબ $P$ માંથી પસાર થતો હોય,તો $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈ કેટલી થાય?

વક્ર $9x^{2} + 16y^{2} = 144$ ને સ્પર્શકનું સમીકરણ જે યામ અક્ષો સાથે સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે તે છે:

ધારો કે $A_1, A_2, A_3$ એ $XY$-સમતલમાં નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત પ્રદેશો છે:
$A_1 = \{(x, y) : x^2 + 2y^2 \leq 1\}$
$A_2 = \{(x, y) : |x|^3 + 2\sqrt{2}|y|^3 \leq 1\}$
$A_3 = \{(x, y) : \max(|x|, \sqrt{2}|y|) \leq 1\}$
તો,