ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ પર દોરેલા લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ કયો છે?

ધારો કે $A$ એ ઉપવલય $S \equiv \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}-1=0$ નું શિરોબિંદુ છે અને $F$ એ ઉપવલય $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-1=0$ ની નાભિ છે. ધારો કે $P$ એ ઉપવલય $S^{\prime}=0$ ની મુખ્ય અક્ષ પરનું બિંદુ છે,જે $\overline{OF}$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે ($O$ એ ઉગમબિંદુ છે). જો ઉપવલય $S=0$ ની $A$ અને $P$ માંથી પસાર થતી જીવાની લંબાઈ $\frac{3\sqrt{101}}{k}$ હોય,તો $k=$

ઉપવલય $25(x + 1)^2 + 9(y + 2)^2 = 225$ ની નાભિના યામ મેળવો.

ઉપવલયના નાભિઓને ગૌણ અક્ષના એક અંત્યબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે. ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી છે?

જો બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(\sqrt{7}, 0)$ અને $(-\sqrt{7}, 0)$ હોય અને $P$ એ શંકુચ્છેદ $9x^{2} + 16y^{2} = 144$ પરનું કોઈ બિંદુ હોય,તો $PA + PB$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ઉપવલય $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$ ને $-\frac{4}{3}$ ઢાળ ધરાવતો સ્પર્શક મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે. જો $C$ એ ઉપવલયનું કેન્દ્ર હોય,તો ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય? .............. $sq. \,units$