यदि वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ की $\alpha$ और $\beta$ ढाल (slopes) वाली स्पर्श रेखाएं बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,और $\cot \alpha + \cot \beta = 0$ है,तो $P$ का बिंदु पथ (locus) क्या है:

वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$ की उन जीवाओं के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ क्या है जो मूल बिंदु पर समकोण बनाती हैं?

माना फलन $f(x) = 2x^{2} - \log_{e} x$,$x > 0$,अंतराल $(0, a)$ में ह्रासमान है और $(a, 4)$ में वर्धमान है। परवलय $y^{2} = 4ax$ के एक बिंदु $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा बिंदु $(8a, 8a - 1)$ से होकर गुजरती है लेकिन बिंदु $(-\frac{1}{a}, 0)$ से होकर नहीं गुजरती है। यदि $P$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} = 1$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

वृत्त $x^2+y^2=16$ की उन जीवाओं के मध्य-बिंदुओं का बिंदुपथ,जो अतिपरवलय $9x^2-16y^2=144$ को स्पर्श करती हैं,है

$(-3, 0)$ से $2$ इकाई से अधिक दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं का बिंदुपथ क्या है?

$12 \, cm$ लंबाई की एक छड़ इस प्रकार चलती है कि उसके सिरे हमेशा निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं। छड़ पर स्थित बिंदु $P$ के बिंदुपथ का समीकरण ज्ञात कीजिए,जो $x-$अक्ष के संपर्क वाले सिरे से $3 \, cm$ की दूरी पर है।