यदि वक्र frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1 | vedclass

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Question

(C) माना वक्र $C_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $C_2: x^2 - y^2 = c^2$ हैं।$C_1$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y'_1 = -\frac{b^2x}{a

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$a^2 - b^2 = 2c^2$

Vedclass · Answer

(C) माना वक्र $C_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $C_2: x^2 - y^2 = c^2$ हैं।$C_1$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y'_1 = -\frac{b^2x}{a^2y}$।$C_2$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y'_2 = \frac{x}{y}$।चूंकि वक्र समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ पर उनके ढाल का गुणनफल $-1$ होगा:$y'_1 	imes y'_2 = -1$$(-\frac{b^2x}{a^2y}) 	imes (\frac{x}{y}) = -1$$\frac{b^2x^2}{a^2y^2} = 1 \implies b^2x^2 = a^2y^2$।$C_2$ से,$y^2 = x^2 - c^2$। इस मान को उपरोक्त समीकरण में रखने पर:$b^2x^2 = a^2(x^2 - c^2) \implies x^2(a^2 - b^2) = a^2c^2$।$C_1$ से,$\frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2 - c^2}{b^2} = 1$ को हल करने पर $x^2 = \frac{a^2(b^2 + c^2)}{a^2 + b^2}$ प्राप्त होता है।$x^2$ के दोनों मानों की तुलना करने पर:$\frac{a^2c^2}{a^2 - b^2} = \frac{a^2(b^2 + c^2)}{a^2 + b^2}$$c^2(a^2 + b^2) = (b^2 + c^2)(a^2 - b^2)$$a^2c^2 + b^2c^2 = a^2b^2 - b^4 + a^2c^2 - b^2c^2$$2b^2c^2 = a^2b^2 - b^4$$b^2$ से विभाजित करने पर:$2c^2 = a^2 - b^2$।

यदि वक्र $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ और $x^2 - y^2 = c^2$ समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो:

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