वृत्त x^2 + y^2 = 4 पर बिंदु P(sqrt{3}, 1) पर | vedclass

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Question

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ के बिंदु $P(\sqrt{3}, 1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $x x_1 + y y_1 = r^2$ के अनुसार $\sqrt{3}x + y = 4$ है। इस स्पर्शरेखा $PT$

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$x - \sqrt{3}y = 1$

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(A) वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ के बिंदु $P(\sqrt{3}, 1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $x x_1 + y y_1 = r^2$ के अनुसार $\sqrt{3}x + y = 4$ है। इस स्पर्शरेखा $PT$ की ढाल $m_1 = -\sqrt{3}$ है। रेखा $L$,$PT$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ होगी। माना रेखा $L$ का समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + c$ है,अर्थात $x - \sqrt{3}y + \sqrt{3}c = 0$। यह रेखा वृत्त $(x - 3)^2 + y^2 = 1$ की स्पर्शरेखा है,जिसका केंद्र $(3, 0)$ और त्रिज्या $r = 1$ है। केंद्र $(3, 0)$ से रेखा $x - \sqrt{3}y + \sqrt{3}c = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $1$ के बराबर होनी चाहिए: $\frac{|3 - \sqrt{3}(0) + \sqrt{3}c|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}} = 1$ $\frac{|3 + \sqrt{3}c|}{2} = 1$ $|3 + \sqrt{3}c| = 2$ स्थिति $1$: $3 + \sqrt{3}c = 2 \implies \sqrt{3}c = -1 \implies c = -\frac{1}{\sqrt{3}}$। समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x - \sqrt{3}y = 1$ प्राप्त होता है।

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