intlimits_0^x {t{e^{ - {t^2}}}} dt का न्यूनतम | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = \int\limits_0^x {t{e^{ - {t^2}}}} dt$ है। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,अवकलज $f'(x) = x{e^{ - {x^2}}}$ है। $f'(x) = 0$ रखने पर,हमें

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(C) माना $f(x) = \int\limits_0^x {t{e^{ - {t^2}}}} dt$ है। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,अवकलज $f'(x) = x{e^{ - {x^2}}}$ है। $f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x{e^{ - {x^2}}} = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि सभी वास्तविक $x$ के लिए ${e^{ - {x^2}}} 
eq 0$,इसलिए $x = 0$ है। अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर: $f''(x) = {e^{ - {x^2}}} - 2{x^2}{e^{ - {x^2}}} = {e^{ - {x^2}}}(1 - 2{x^2})$। $x = 0$ पर मान रखने पर,$f''(0) = {e^0}(1 - 0) = 1 > 0$। चूँकि द्वितीय अवकलज $x = 0$ पर धनात्मक है,इसलिए फलन का $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है। न्यूनतम मान $f(0) = \int\limits_0^0 {t{e^{ - {t^2}}}} dt = 0$ है।

$\int\limits_0^x {t{e^{ - {t^2}}}} dt$ का न्यूनतम मान क्या है?

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$\int_0^1 \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right) d x$ का मान ज्ञात कीजिए :

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}, & x \le \pi/2 \\ \frac{b(1-\sin x)}{(\pi-2x)^2}, & x > \pi/2 \end{cases}$ है। यदि $f$, $x = \pi/2$ पर सतत है, तो $\int_0^{3b-6} |x^2+2x-3| dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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