K के किन मानों के लिए फलन f(x) = x^3 + 6x^2 + | vedclass

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Question

(A) किसी फलन $f(x)$ के सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए निरंतर वर्धमान होने हेतु,उसका अवकलज $f'(x)$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $0$ से बड़ा होना चाहिए।

Vedclass · Accepted Answer

$K > \frac{3}{2}$

Vedclass · Answer

(A) किसी फलन $f(x)$ के सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए निरंतर वर्धमान होने हेतु,उसका अवकलज $f'(x)$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $0$ से बड़ा होना चाहिए।दिया गया फलन $f(x) = x^3 + 6x^2 + (9 + 2K)x + 1$ है,इसका अवकलज ज्ञात करने पर:$f'(x) = 3x^2 + 12x + (9 + 2K)$।सभी $x$ के लिए $f'(x) > 0$ होने हेतु,द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c$ में $a > 0$ और विविक्तकर (discriminant) $D यहाँ,$a = 3 > 0$,जो शर्त पूरी होती है।विविक्तकर $D = b^2 - 4ac $D = (12)^2 - 4(3)(9 + 2K) $144 - 12(9 + 2K) $12$ से विभाजित करने पर:$12 - (9 + 2K) $12 - 9 - 2K $3 - 2K $3 $K > \frac{3}{2}$।

$K$ के किन मानों के लिए फलन $f(x) = x^3 + 6x^2 + (9 + 2K)x + 1$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए निरंतर वर्धमान फलन है?

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