फलन f(x) = frac{lambda sin x + 3 cos x}{2 sin | vedclass

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Question

(B) $f(x) = \frac{a \sin x + b \cos x}{c \sin x + d \cos x}$ के रूप वाले फलन के लिए,इसके एकदिष्ट वर्धमान होने के लिए इसका अवकलज $f'(x) > 0$ होना चाहिए

Vedclass · Accepted Answer

$\lambda > 1$

Vedclass · Answer

(B) $f(x) = \frac{a \sin x + b \cos x}{c \sin x + d \cos x}$ के रूप वाले फलन के लिए,इसके एकदिष्ट वर्धमान होने के लिए इसका अवकलज $f'(x) > 0$ होना चाहिए।$f(x) = \frac{u}{v}$ का अवकलज $f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ होता है।यहाँ,$u = \lambda \sin x + 3 \cos x$ और $v = 2 \sin x + 6 \cos x$ है।$u' = \lambda \cos x - 3 \sin x$ और $v' = 2 \cos x - 6 \sin x$ है।$u'v - uv' = (\lambda \cos x - 3 \sin x)(2 \sin x + 6 \cos x) - (\lambda \sin x + 3 \cos x)(2 \cos x - 6 \sin x)$।इसका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(2\lambda \sin x \cos x + 6\lambda \cos^2 x - 6 \sin^2 x - 18 \sin x \cos x) - (2\lambda \sin x \cos x - 6\lambda \sin^2 x + 6 \cos^2 x - 18 \sin x \cos x)$।सरल करने पर,$2\lambda \sin x \cos x$ और $-18 \sin x \cos x$ पद कट जाते हैं।शेष पद: $6\lambda \cos^2 x - 6 \sin^2 x + 6\lambda \sin^2 x - 6 \cos^2 x = 6(\lambda - 1)(\cos^2 x + \sin^2 x) = 6(\lambda - 1)$।$f'(x) > 0$ के लिए,$6(\lambda - 1) > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\lambda - 1 > 0$,अर्थात $\lambda > 1$।

फलन $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 3 \cos x}{2 \sin x + 6 \cos x}$ कब एकदिष्ट वर्धमान (monotonically increasing) है?

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