જો કોઈ વક્રના $(x, y)$ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $3x^2 + 2x + 5$ હોય અને તે વક્ર $(0, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થતો હોય,તો તે વક્રનું સમીકરણ શોધો.

એક ગોળાકાર વરસાદનું ટીપું તેની સપાટીના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં બાષ્પીભવન પામે છે. જો શરૂઆતમાં તેની ત્રિજ્યા $3 \ mm$ હોય અને $1 \ \text{કલાક}$ પછી તે ઘટીને $2 \ mm$ થાય,તો કોઈપણ સમયે $t$ પર વરસાદના ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ માટેનું સમીકરણ શું છે?

વક્રોનું એક કુટુંબ એવું છે કે ઉગમબિંદુ અને કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પરના સ્પર્શક વચ્ચે $y$-અક્ષ પર કપાયેલ અંતર એ સંપર્ક બિંદુના કોટિ (ordinate) કરતા ત્રણ ગણું છે. તો વક્રોનું કુટુંબ કયું છે?

સમય $t=0$ પર એક પદાર્થનું તાપમાન $T(t)$ એ $160^{\circ} F$ છે અને તે વિકલ સમીકરણ $\frac{dT}{dt}=-K(T-80)$ મુજબ સતત ઘટે છે,જ્યાં $K$ એ ધન અચળાંક છે. જો $T(15)=120^{\circ} F$ હોય,તો $T(45)$ ની કિંમત શોધો. ($^{\circ} F$ માં)

એક શહેરની વસ્તી વધવાનો દર તે સમયે હાજર વસ્તીના પ્રમાણમાં છે. $30$ વર્ષના સમયગાળામાં,વસ્તી $20$ લાખથી વધીને $40$ લાખ થઈ ગઈ. તો,વધુ $15$ વર્ષના સમયગાળા પછી વસ્તી કેટલી હશે ($\text{લાખ}$ માં)? ($\sqrt{2} = 1.41$ લો)

ધારો કે $f$ એ $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ પર વ્યાખ્યાયિત વિકલનીય વિધેય છે,જેથી $f(x) > 0$ અને $f(x)+\int \limits_0^x f(t) \sqrt{1-\left(\log _e f(t)\right)^2} d t=e, \forall x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$. તો $\left(6 \log _{ e } f \left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^2$ ની કિંમત $.............$ છે.