जब फलन f(x) = 2(cos 3x + cos sqrt{3} x) अपना | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x) = 2(\cos 3x + \cos \sqrt{3} x)$ है।योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग क

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$1$

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(A) दिया गया फलन $f(x) = 2(\cos 3x + \cos \sqrt{3} x)$ है।योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:$f(x) = 4 \cos(\frac{3 + \sqrt{3}}{2} x) \cos(\frac{3 - \sqrt{3}}{2} x)$ प्राप्त होता है।$\cos 	heta$ का अधिकतम मान $1$ होता है।$f(x) = 4$ होने के लिए,$\cos(\frac{3 + \sqrt{3}}{2} x)$ और $\cos(\frac{3 - \sqrt{3}}{2} x)$ दोनों को $1$ होना चाहिए या दोनों को $-1$ होना चाहिए।स्थिति $1$: $\cos(\frac{3 + \sqrt{3}}{2} x) = 1$ और $\cos(\frac{3 - \sqrt{3}}{2} x) = 1$।इसका अर्थ है $\frac{3 + \sqrt{3}}{2} x = 2n\pi$ और $\frac{3 - \sqrt{3}}{2} x = 2m\pi$,जहाँ $n, m$ पूर्णांक हैं।दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{n}{m}$।हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{(3 + \sqrt{3})^2}{9 - 3} = 2 + \sqrt{3}$।चूंकि $2 + \sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए कोई भी गैर-शून्य पूर्णांक $n, m$ इसे संतुष्ट नहीं करते हैं। अतः,$n=0, m=0$ ही एकमात्र समाधान है,जिससे $x=0$ प्राप्त होता है।स्थिति $2$: दोनों $-1$ हों। यह भी समान विरोधाभास की ओर ले जाता है।अतः,$x$ का एकमात्र मान $x=0$ है जिसके लिए फलन अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है। इस प्रकार,मानों की संख्या $1$ है।

जब फलन $f(x) = 2(\cos 3x + \cos \sqrt{3} x)$ अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है,तो $x$ के मानों की संख्या क्या है?

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