अंतराल [0, pi] पर f(x) = sin 2x - x के स्थानी | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \sin 2x - x$.चरण $1$: अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें।$f'(x) = 2\cos 2x - 1$.चरण $2$: क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रख

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इनमें से कोई नहीं

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(D) दिया गया है $f(x) = \sin 2x - x$.चरण $1$: अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें।$f'(x) = 2\cos 2x - 1$.चरण $2$: क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें।$2\cos 2x - 1 = 0 \implies \cos 2x = \frac{1}{2}$.अंतराल $[0, \pi]$ में,$2x$ का मान $[0, 2\pi]$ तक होता है।अतः,$2x = \frac{\pi}{3}$ या $2x = \frac{5\pi}{3}$.इसलिए,$x = \frac{\pi}{6}$ या $x = \frac{5\pi}{6}$.चरण $3$: द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करें।$f''(x) = -4\sin 2x$.$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$f''(\frac{\pi}{6}) = -4\sin(\frac{\pi}{3}) = -4(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2\sqrt{3} $x = \frac{5\pi}{6}$ पर,$f''(\frac{5\pi}{6}) = -4\sin(\frac{5\pi}{3}) = -4(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2\sqrt{3} > 0$. अतः,$x = \frac{5\pi}{6}$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।चरण $4$: मानों की गणना करें।स्थानीय उच्चतम मान $f(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\sqrt{3} - \pi}{6}$.स्थानीय न्यूनतम मान $f(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{5\pi}{3}) - \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{6} = \frac{-3\sqrt{3} - 5\pi}{6}$.चूंकि ये मान दिए गए विकल्पों से मेल नहीं खाते हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

अंतराल $[0, \pi]$ पर $f(x) = \sin 2x - x$ के स्थानीय उच्चतम और स्थानीय न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

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