r त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित आयत का अ | vedclass

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Question

(D) माना आयत $r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित है। आयत की भुजाएँ $2x$ और $2y$ हैं। चूँकि आयत वृत्त में अंतर्निहित है,आयत का विकर्ण वृत्त का व्यास

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$2 r^{2}$

Vedclass · Answer

(D) माना आयत $r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित है। आयत की भुजाएँ $2x$ और $2y$ हैं। चूँकि आयत वृत्त में अंतर्निहित है,आयत का विकर्ण वृत्त का व्यास है,इसलिए $(2x)^2 + (2y)^2 = (2r)^2$,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = r^2$ या $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ हो जाता है।आयत का क्षेत्रफल $A = (2x)(2y) = 4x\sqrt{r^2 - x^2}$ है।अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$A$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:$\frac{dA}{dx} = 4 \left( \sqrt{r^2 - x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{r^2 - x^2}} \cdot (-2x) \right) = 4 \left( \frac{r^2 - x^2 - x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}} \right) = \frac{4(r^2 - 2x^2)}{\sqrt{r^2 - x^2}}$.$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर $r^2 - 2x^2 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \frac{r}{\sqrt{2}}$.$x = \frac{r}{\sqrt{2}}$ को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर:$A = 4 \left( \frac{r}{\sqrt{2}} \right) \sqrt{r^2 - \frac{r^2}{2}} = 4 \left( \frac{r}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{r}{\sqrt{2}} \right) = 4 \cdot \frac{r^2}{2} = 2r^2$.अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $2r^2$ है।

$r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित आयत का अधिकतम क्षेत्रफल क्या है?

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