एक पतली वृत्ताकार चकती का इसके व्यास के परित: जड़त्व आघूर्ण क्या होगा? ($M$ चकती का द्रव्यमान है और $R$ त्रिज्या है।)

दो वृत्ताकार छल्लों (rings) के द्रव्यमानों और त्रिज्याओं का अनुपात क्रमशः $1:2$ और $2:1$ है। उनके जड़त्व आघूर्ण का अनुपात क्या होगा?

समान द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ वाले चार पिंडों का जड़त्व आघूर्ण $(M.I.)$ इस प्रकार है:
$I_{1} =$ पतली वृत्ताकार वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण।
$I_{2} =$ वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और डिस्क के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण।
$I_{3} =$ ठोस बेलन का उसकी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण।
$I_{4} =$ ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण।
तब:

सूची-$I$	सूची-$II$
$(a)$ छड़ का जड़त्व आघूर्ण $(MI)$ (लंबाई $L$,द्रव्यमान $M$,छड़ के लंबवत और मध्य बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के परितः)	$(i) \frac{8ML^2}{3}$
$(b)$ छड़ का जड़त्व आघूर्ण $(MI)$ (लंबाई $L$,द्रव्यमान $2M$,छड़ के लंबवत और एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः)	$(ii) \frac{ML^2}{3}$
$(c)$ छड़ का जड़त्व आघूर्ण $(MI)$ (लंबाई $2L$,द्रव्यमान $M$,छड़ के लंबवत और मध्य बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के परितः)	$(iii) \frac{ML^2}{12}$
$(d)$ छड़ का जड़त्व आघूर्ण $(MI)$ (लंबाई $2L$,द्रव्यमान $2M$,छड़ के लंबवत और एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः)	$(iv) \frac{2ML^2}{3}$

नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

समान द्रव्यमान और समान मोटाई वाली लेकिन अलग-अलग त्रिज्याओं वाली दो एकसमान वृत्ताकार डिस्क अलग-अलग पदार्थों से बनी हैं। कम जड़त्व आघूर्ण (rotational inertia) वाली डिस्क कौन सी है?

$b$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार डिस्क के केंद्र में $a$ त्रिज्या का एक छेद है (चित्र देखें)। यदि डिस्क का प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma(r) = \frac{\sigma_0}{r}$ के अनुसार बदलता है,तो केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः डिस्क की घूर्णन त्रिज्या (radius of gyration) ज्ञात कीजिए।