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Question

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\lim_{n 	o \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}ight) = \int_{0}^{1} f(x) dx$ के रूप में एक रीमान योग है। मान

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$\frac{{\sqrt 3 }}{3}$

Vedclass · Answer

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\lim_{n 	o \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}ight) = \int_{0}^{1} f(x) dx$ के रूप में एक रीमान योग है। मान लीजिए $f(x) = \frac{\pi}{6} \sec^2\left(\frac{\pi x}{6}ight)$ है। अभिव्यक्ति को $\sum_{r=1}^{n-1} \frac{\pi}{6n} \sec^2\left(\frac{r\pi}{6n}ight) + \frac{\pi}{6n} \cdot \frac{4}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है। जैसे $n 	o \infty$,पद $\frac{\pi}{6n} \cdot \frac{4}{3} 	o 0$ हो जाता है। अतः,सीमा $\int_{0}^{1} \frac{\pi}{6} \sec^2\left(\frac{\pi x}{6}ight) dx$ है। मान लीजिए $u = \frac{\pi x}{6}$,तो $du = \frac{\pi}{6} dx$ होगा। समाकलन $\int_{0}^{\pi/6} \sec^2(u) du = [	an(u)]_{0}^{\pi/6}$ बन जाता है। इसका मान निकालने पर,हमें $	an(\pi/6) - 	an(0) = \frac{1}{\sqrt{3}} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{3}$ प्राप्त होता है।

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$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^2} \sec ^2 \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2} \sec ^2 \frac{4}{n^2}+\ldots+\frac{1}{n} \sec ^2 1\right]=$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{e^{1 / n}}+\frac{1}{e^{2 / n}}+\frac{1}{e^{3 / n}}+\ldots+\frac{1}{e^{2n/n}}\right)=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^3}{r^4+n^4}$ का मान है

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n}\left[\sin \frac{\pi}{2 n}+\sin \frac{2 \pi}{2 n}+\sin \frac{3 \pi}{2 n}+\ldots+\sin \frac{\pi}{2}\right]=$

यदि $f(n) = \frac{1}{n} [(n+1)(n+2)(n+3) \ldots (2n)]^{\frac{1}{n}}$ है, तो $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n) =$

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