intlimits_0^1 {frac{{{{tan }^{ - 1}}x}}{x},dx | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{{	an }^{ - 1}}x}}{x}\,dx} $। $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ प्राप्त हो

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{x}{{\sin x}}\,dx} $

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{{	an }^{ - 1}}x}}{x}\,dx} $। $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तो $	heta = 0$ और जब $x = 1$,तो $	heta = \frac{\pi}{4}$। $I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} {\frac{	heta}{{	an 	heta}} \cdot \sec^2 	heta \, d	heta} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} {\frac{	heta}{{\sin 	heta \cos 	heta}} \, d	heta} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} {\frac{{2	heta}}{{\sin 2	heta}} \, d	heta}$। अब $2	heta = y$ लेने पर,$2 \, d	heta = dy$ अर्थात $d	heta = \frac{1}{2} dy$। जब $	heta = 0$,तो $y = 0$ और जब $	heta = \frac{\pi}{4}$,तो $y = \frac{\pi}{2}$। $I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\frac{y}{{\sin y}} \cdot \frac{1}{2} \, dy} = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\frac{y}{{\sin y}} \, dy} = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\frac{x}{{\sin x}} \, dx}$।

$\int\limits_0^1 {\frac{{{{\tan }^{ - 1}}x}}{x}\,dx} = $

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