समाकलन int frac{x^2 + cos^2 x}{1 + x^2} opera | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int \left( \frac{x^2 + \cos^2 x}{1 + x^2} \right) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ दिया गया है। अंश को $(x^2 + 1 - 1 + \cos^2 x)$

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$-	an^{-1} x - \cot x + c$

Vedclass · Answer

(A) हमें समाकलन $I = \int \left( \frac{x^2 + \cos^2 x}{1 + x^2} ight) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ दिया गया है। अंश को $(x^2 + 1 - 1 + \cos^2 x)$ के रूप में लिखने पर: $I = \int \left( \frac{x^2 + 1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x^2} + \frac{\cos^2 x}{1 + x^2} ight) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ व्यंजक को सरल करने पर: $I = \int \left( 1 - \frac{1}{1 + x^2} + \frac{\cos^2 x}{1 + x^2} ight) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ $\operatorname{cosec}^2 x$ का वितरण करने पर: $I = \int \left( \operatorname{cosec}^2 x - \frac{\operatorname{cosec}^2 x}{1 + x^2} + \frac{\cos^2 x}{(1 + x^2) \sin^2 x} ight) \, dx$ चूँकि $\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x$: $I = \int \left( \operatorname{cosec}^2 x + \frac{\cot^2 x - \operatorname{cosec}^2 x}{1 + x^2} ight) \, dx$ सर्वसमिका $\cot^2 x - \operatorname{cosec}^2 x = -1$ का उपयोग करने पर: $I = \int \left( \operatorname{cosec}^2 x - \frac{1}{1 + x^2} ight) \, dx$ प्रत्येक पद का समाकलन करने पर: $I = -\cot x - 	an^{-1} x + c$.

समाकलन $\int \frac{x^2 + \cos^2 x}{1 + x^2} \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है।

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