$6$ लड़के और $5$ लड़कियाँ एक पंक्ति में इस प्रकार बैठते हैं कि $(I)$ कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें $(II)$ सभी लड़कियाँ एक साथ बैठें। यदि स्थिति $(I)$ में व्यवस्थाओं की संख्या $p$ है और स्थिति $(II)$ में $q$ है,तो $p/q =$

$6$ लाल गेंदों और $6$ काली गेंदों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि कोई भी दो काली गेंदें एक साथ न हों।

एक पुस्तकालय में $a$ पुस्तकें प्रकार $A$ की,$2$ पुस्तकें प्रकार $B$ की,$3$ पुस्तकें प्रकार $C$ की और $1$ पुस्तक प्रकार $D$ की है। इन पुस्तकों को कुल कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

आठ कुर्सियों को $1$ से $8$ तक क्रमांकित किया गया है। दो महिलाएं और तीन पुरुष प्रत्येक एक कुर्सी पर बैठना चाहते हैं। पहले महिलाएं $1$ से $4$ तक चिह्नित कुर्सियों में से कुर्सियां चुनती हैं,और फिर पुरुष शेष कुर्सियों में से कुर्सियां चुनते हैं। संभावित व्यवस्थाओं की संख्या है

एक हॉल में $10$ लैंप हैं। उनमें से प्रत्येक को स्वतंत्र रूप से चालू किया जा सकता है। हॉल को रोशन करने के तरीकों की संख्या है

$DAUGHTER$ शब्द के अक्षरों से $8$ अक्षरों के ऐसे कितने विन्यास बनाए जा सकते हैं कि सभी स्वर एक साथ न आएं?