आठ कुर्सियों को $1$ से $8$ तक क्रमांकित किया गया है। दो महिलाएं और तीन पुरुष प्रत्येक एक कुर्सी पर बैठना चाहते हैं। पहले महिलाएं $1$ से $4$ तक चिह्नित कुर्सियों में से कुर्सियां चुनती हैं,और फिर पुरुष शेष कुर्सियों में से कुर्सियां चुनते हैं। संभावित व्यवस्थाओं की संख्या है

  • A
    ${ }^6 C_3 \times { }^4 C_2$
  • B
    ${ }^4 P_2 \times { }^6 P_3$
  • C
    ${ }^4 C_2 + { }^4 P_3$
  • D
    ${ }^4 P_2 + { }^6 P_3$

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यदि $MATHEMATICS$ शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्दों की संख्या,जिसमें $C$ और $S$ एक साथ न आएं,$(6 !) k$ है,तो $k$ का मान $............$ है।

सात वैज्ञानिकों $S_1, S_2, \ldots, S_7$ को एक सम्मेलन में एक-एक व्याख्यान देने के लिए आमंत्रित किया गया है। सभी सात व्याख्यानों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $S_1$ का व्याख्यान $S_3$ से पहले हो और $S_3$ का व्याख्यान $S_7$ से पहले हो।

$5$ पुरस्कारों को $4$ लड़कों के बीच कितने तरीकों से वितरित किया जा सकता है,यदि प्रत्येक लड़का कितने भी पुरस्कार प्राप्त कर सकता है?

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यदि $\frac{^{56}P_{r+6}}{^{54}P_{r+3}} = 30800$ है,तो $r = \dots$

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