$\int_{0}^{^{n}C_{r}} \{ \sin^{2}\{x\} \} dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है और $n, r \in N$)

मान लीजिए $I_1 = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x - \cos x}{1 + \sin x \cos x} dx$,$I_2 = \int_0^{2\pi} \cos^6 x dx$,$I_3 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^3 x dx$,और $I_4 = \int_0^1 \ln \left( \frac{1}{x} - 1 \right) dx$. तो:

मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=a e^{2 x}+b e^x+c x$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि $f(0)=-1$,$f^{\prime}(\log _e 2)=21$,और $\int_0^{\log _e 4}(f(x)-c x) d x=\frac{39}{2}$ है,तो $|a+b+c|$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $r_k = \frac{\int_0^1 (1-x^7)^k dx}{\int_0^1 (1-x^7)^{k+1} dx}$,$k \in N$. तो $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{7(r_k-1)}$ का मान ........... है।

$x, t \in R$ के लिए,मान लीजिए $p_t(x) = (\sin t) x^2 - (2 \cos t) x + \sin t$ चर गुणांकों वाले $x$ में द्विघात बहुपदों का एक परिवार है। मान लीजिए $A(t) = \int_0^1 p_t(x) dx$ है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$I$. सभी $t$ के लिए $A(t) < 0$ है।
$II$. $A(t)$ के अनंत क्रांतिक बिंदु हैं।
$III$. अनंत $t$ के लिए $A(t) = 0$ है।
$IV$. सभी $t$ के लिए $A'(t) < 0$ है।

यदि एक वास्तविक संख्या $y$ के लिए,$[y]$ वह महत्तम पूर्णांक है जो $y$ से कम या उसके बराबर है,तो समाकलन $\int_{\pi /2}^{3\pi /2} [2\sin x] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।