A और B दो 3 times 3 कोटि के व्युत्क्रमणीय वर् | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $AB = A$। चूंकि $A$ व्युत्क्रमणीय है,$A^{-1}$ का अस्तित्व है। बाईं ओर $A^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $B = I$ प्राप्त होता है,जहाँ $I$ त

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$|A + B| = 8$

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(B) दिया गया है $AB = A$। चूंकि $A$ व्युत्क्रमणीय है,$A^{-1}$ का अस्तित्व है। बाईं ओर $A^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $B = I$ प्राप्त होता है,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।चूंकि $B = I$,तो $B^2 = I^2 = I = B$ होगा।साथ ही,$AB = A \implies AI = A$,जो संगत है।अब,$A + B = A + I$।चूंकि $A$ व्युत्क्रमणीय है,$|A| 
eq 0$। हालाँकि,$AB = A$ और $A$ व्युत्क्रमणीय होने पर $B = I$ होता है।$|A + B| 
eq 0$ दिया गया है,इसलिए $|A + I| 
eq 0$।$AB = A$ से,हमें $A(B - I) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $A$ व्युत्क्रमणीय है,$B = I$।तब $(A + B)^2 = (A + I)^2 = A^2 + 2A + I$। चूंकि $A^2 = A(AB) = A^2B = AB = A$,इसलिए $(A + I)^2 = A + 2A + I = 3A + I$ होता है।वास्तव में,यदि $B = I$ है,तो किसी भी $A$ के लिए $AB = A$ हमेशा सत्य है।यदि $A$ वर्गसम (idempotent) है,तो $|A+I| = 2^n$ जहाँ $n=3$,इसलिए $|A+I| = 2^3 = 8$ होगा।

$A$ और $B$ दो $3 \times 3$ कोटि के व्युत्क्रमणीय वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि $AB = A$ और $|A + B| \neq 0$,तो:

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मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 2 & b & 1 \\ b & b^2+1 & b \\ 1 & b & 2 \end{bmatrix}$ जहाँ $b > 0$ है। तो $\frac{\det(A)}{b}$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

यदि $P$ एक नॉन-सिंगुलर मैट्रिक्स (आव्यूह) है, इस प्रकार कि $I+P+P^2+\ldots+P^{n}=0$ ($0$ शून्य आव्यूह को दर्शाता है), तो $P^{-1}=$

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 5 & \sin^2 \theta & \cos^2 \theta \\ -\sin^2 \theta & -5 & 1 \\ \cos^2 \theta & 1 & 5 \end{bmatrix}$ है। तो $\det(A)$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

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