$m$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $R$ त्रिज्या की स्थिर घर्षणहीन अवतल सतह पर फिसल रहा है। इसे सबसे निचले बिंदु $Q$ से $H \ll R$ की ऊँचाई पर स्थित बिंदु $P$ से विरामावस्था से छोड़ा जाता है।
$(a)$ सबसे निचले बिंदु $Q$ को स्थितिज ऊर्जा के लिए संदर्भ स्तर मानते हुए,$\theta$ के फलन के रूप में स्थितिज ऊर्जा क्या है?
$(b)$ $\theta$ के फलन के रूप में गतिज ऊर्जा क्या है?
$(c)$ कण को बिंदु $P$ से सबसे निचले बिंदु $Q$ तक पहुँचने में कितना समय लगता है?
$(d)$ बिंदु $Q$ पर ब्लॉक द्वारा अवतल सतह पर कितना बल लगाया जाता है?

(D) द्रव्यमान $m$,बिंदु $Q$ से $H$ ऊँचाई पर है,जहाँ स्थितिज ऊर्जा शून्य ली गई है। चित्र की ज्यामिति से,यदि किसी कोण $\theta$ पर,द्रव्यमान $m$ की सबसे निचले बिंदु $Q$ से ऊँचाई $h$ है,तो $\triangle ABC$ से,$\cos \theta = \frac{R-h}{R} \Rightarrow h = R(1 - \cos \theta)$। अतः,स्थितिज ऊर्जा $U(\theta) = mgh = mgR(1 - \cos \theta)$ है।
$(b)$ स्थिति $\theta$ पर गतिज ऊर्जा $K(\theta)$,प्रारंभिक स्थिति $P$ से स्थिति $\theta$ तक पहुँचने में हुई स्थितिज ऊर्जा की हानि है। अतः,$K(\theta) = mgH - U(\theta) = mgH - mgR(1 - \cos \theta) = mg(H - R(1 - \cos \theta))$ है।
$(c)$ $H \ll R$ के लिए,गति सरल आवर्त गति है जिसका आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ है। $P$ से $Q$ तक जाने में लगा समय इस आवर्तकाल का एक-चौथाई है। अतः,$t = \frac{T}{4} = \frac{2\pi}{4} \sqrt{\frac{R}{g}} = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{R}{g}}$ है।
$(d)$ सबसे निचले बिंदु $Q$ पर ऊर्जा संरक्षण के नियम से,यदि $m$ का वेग $v$ है,तो $\frac{1}{2}mv^2 = mgH \Rightarrow mv^2 = 2mgH$। अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{R} = \frac{2mgH}{R}$ है। $Q$ पर अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ के लिए $N - mg = \frac{mv^2}{R} \Rightarrow N = mg + \frac{2mgH}{R} = mg(1 + \frac{2H}{R})$ है। यह ब्लॉक द्वारा सतह पर लगाया गया बल है।