m द्रव्यमान के एक पिंड को पृथ्वी की सतह से h | vedclass

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Question

(B) $M$ द्रव्यमान वाली पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।य

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$-\frac{GMm}{R} + mgh$

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(B) $M$ द्रव्यमान वाली पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।यहाँ,पिंड पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर है,इसलिए पृथ्वी के केंद्र से इसकी दूरी $r = R + h$ होगी।अतः,स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{R+h}$ होगी।नोट: यदि $h$,$R$ की तुलना में बहुत छोटा है,तो टेलर विस्तार का उपयोग करके हम लिख सकते हैं: $U = -\frac{GMm}{R(1 + h/R)} \approx -\frac{GMm}{R}(1 - h/R) = -\frac{GMm}{R} + \frac{GMmh}{R^2}$.चूँकि गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,इसलिए यह समीकरण $U \approx -\frac{GMm}{R} + mgh$ बन जाता है।

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