एक वृत्त C_{1} मूल बिंदु O से होकर गुजरता है | vedclass

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Question

(A) वृत्त $C_{1}$ का केंद्र $(2, 0)$ और त्रिज्या $2$ है। इसका समीकरण $(x-2)^2 + y^2 = 4$ है,जो $x^2 + y^2 - 4x = 0$ के रूप में सरल होता है।रेखा $y = 2

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(A) वृत्त $C_{1}$ का केंद्र $(2, 0)$ और त्रिज्या $2$ है। इसका समीकरण $(x-2)^2 + y^2 = 4$ है,जो $x^2 + y^2 - 4x = 0$ के रूप में सरल होता है।रेखा $y = 2x$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2 + (2x)^2 - 4x = 0$,जिससे $5x^2 - 4x = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$x = 0$ ($O$ पर) या $x = 4/5$ ($A$ पर)।$x = 4/5$ के लिए,$y = 2(4/5) = 8/5$। अतः,$A = (4/5, 8/5)$।$OA$ की ढाल $m = 2$ है। मान लीजिए $	heta$ वह कोण है जो $OA$,$x$-अक्ष के साथ बनाता है,इसलिए $	an 	heta = 2$।$C_{2}$ के बिंदु $A$ पर स्पर्श रेखा त्रिज्या $OA$ के लंबवत है। स्पर्श रेखा की ढाल $-1/2$ होगी।बिंदु $A(4/5, 8/5)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 8/5 = -1/2(x - 4/5)$ है,जो $x + 2y = 4$ में सरल होता है।$x$-अंतःखंड $P$ के लिए $y=0$ रखने पर,$x=4$,अतः $P = (4, 0)$।$y$-अंतःखंड $Q$ के लिए $x=0$ रखने पर,$2y=4$,अतः $y=2$,$Q = (0, 2)$।दूरी $AP = \sqrt{(4 - 4/5)^2 + (0 - 8/5)^2} = \frac{8\sqrt{5}}{5}$।दूरी $QA = \sqrt{(0 - 4/5)^2 + (2 - 8/5)^2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$।अनुपात $QA : AP = \frac{2\sqrt{5}}{5} : \frac{8\sqrt{5}}{5} = 2 : 8 = 1 : 4$।

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