એક વર્તુળ દોરવામાં આવ્યું છે જેનું કેન્દ્ર પરવલય $y^2 = 4ax$ નું શિરોબિંદુ છે અને જેનો વ્યાસ પરવલયના નાભિલંબનો ત્રણ-ચતુર્થાંશ ભાગ છે. જો $PQ$ એ વર્તુળ અને પરવલયની સામાન્ય જીવા હોય અને $L_1L_2$ એ નાભિલંબ હોય,તો સમલંબ ચતુષ્કોણ $PL_1L_2Q$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.

એક દ્વિઘાત બહુપદી $y = f(x)$ જેનો અચળ પદ $3$ છે,તે $x$-અક્ષને સ્પર્શતી નથી કે છેદતી નથી અને રેખા $x = 1$ ની સાપેક્ષે સંમિત છે. બહુપદીના અગ્ર પદનો સહગુણક એકમ છે. કાર્ટેઝિયન લંબચોરસ યામ પદ્ધતિ $OXY$ માં પ્રથમ ચરણમાં વક્ર $y = f(x)$ પર એક બિંદુ $A(x_1, y_1)$ જેનો $x$-યામ $x_1 = 1$ છે અને બિંદુ $B(x_2, y_2)$ જેનો $y$-યામ $y_2 = 11$ છે,આપેલ છે,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે. દ્વિઘાત બહુપદીનું શિરોબિંદુ શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ ના નાભિઓ $(f_1, 0)$ અને $(f_2, 0)$ છે,જ્યાં $f_1 > 0$ અને $f_2 < 0$ છે. ધારો કે $P_1$ અને $P_2$ બે પરવલયો છે જેનું શિરોબિંદુ $(0,0)$ છે અને નાભિઓ અનુક્રમે $(f_1, 0)$ અને $(2f_2, 0)$ છે. ધારો કે $T_1$ એ $P_1$ નો સ્પર્શક છે જે $(2f_2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $T_2$ એ $P_2$ નો સ્પર્શક છે જે $(f_1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. જો $m_1$ એ $T_1$ નો ઢાળ હોય અને $m_2$ એ $T_2$ નો ઢાળ હોય,તો $(\frac{1}{m_1^2} + m_2^2)$ ની કિંમત શું છે?

અતિવલય $H : x^{2} - y^{2} = 1$ અને ઉપવલય $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ માટે જ્યાં $a > b > 0$,ધારો કે $(1)$ $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત છે,અને $(2)$ રેખા $y = \sqrt{\frac{5}{2}} x + K$ એ $E$ અને $H$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે. તો $4(a^{2} + b^{2})$ ની કિંમત શોધો:

આકૃતિમાં, વિધાન $I$: જ્યારે $\alpha > \beta \ge 0$ હોય, ત્યારે છેદ એક અતિવલય (hyperbola) છે. વિધાન $II$: જ્યારે $\beta > 90^\circ$ હોય, ત્યારે છેદ એક ઉપવલય (ellipse) છે.

જો નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ આપેલા હોય,તો કેટલા પરવલયો દોરી શકાય?