R त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार डिस्क पर पृष्ठीय | vedclass

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Question

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।डिस्क पर कुल आवेश $

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$6.40$

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(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।डिस्क पर कुल आवेश $Q$:$Q = \int_0^R \sigma(r) \cdot 2\pi r \, dr = \int_0^R \sigma_0 \left(1 - \frac{r}{R}\right) 2\pi r \, dr = 2\pi \sigma_0 \int_0^R \left(r - \frac{r^2}{R}\right) dr = 2\pi \sigma_0 \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^3}{3R} \right]_0^R = 2\pi \sigma_0 \left( \frac{R^2}{2} - \frac{R^2}{3} \right) = 2\pi \sigma_0 \left( \frac{R^2}{6} \right) = \frac{\pi \sigma_0 R^2}{3}$.अतः,$\phi_0 = \frac{Q}{\varepsilon_0} = \frac{\pi \sigma_0 R^2}{3\varepsilon_0}$.$r' = \frac{R}{4}$ त्रिज्या वाली संकेंद्रित गोलाकार सतह द्वारा घिरा आवेश $q$:$q = \int_0^{R/4} \sigma(r) \cdot 2\pi r \, dr = 2\pi \sigma_0 \int_0^{R/4} \left(r - \frac{r^2}{R}\right) dr = 2\pi \sigma_0 \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^3}{3R} \right]_0^{R/4} = 2\pi \sigma_0 \left( \frac{R^2}{32} - \frac{R^3}{3R \cdot 64} \right) = 2\pi \sigma_0 \left( \frac{R^2}{32} - \frac{R^2}{192} \right) = 2\pi \sigma_0 \left( \frac{6R^2 - R^2}{192} \right) = 2\pi \sigma_0 \left( \frac{5R^2}{192} \right) = \frac{5\pi \sigma_0 R^2}{96}$.अतः,$\phi = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{5\pi \sigma_0 R^2}{96\varepsilon_0}$.अनुपात $\frac{\phi_0}{\phi}$:$\frac{\phi_0}{\phi} = \frac{\pi \sigma_0 R^2 / 3\varepsilon_0}{5\pi \sigma_0 R^2 / 96\varepsilon_0} = \frac{1}{3} \cdot \frac{96}{5} = \frac{32}{5} = 6.40$.

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