એક શંકુ (conic) બિંદુ $(2, 4)$ માંથી પસાર થાય છે અને તે એવી રીતે છે કે તેના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શકનો યામ અક્ષો વચ્ચેનો ભાગ સ્પર્શ બિંદુ પર દુભાગે છે. તો શંકુના નાભિઓ (foci) કયા છે?

ધારો કે $T_1$ અને $T_2$ એ ઉપવલય $E: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ અને પરવલય $P: y^2=12x$ ના બે ભિન્ન સામાન્ય સ્પર્શકો છે. ધારો કે સ્પર્શક $T_1$ એ $P$ અને $E$ ને અનુક્રમે $A_1$ અને $A_2$ બિંદુએ સ્પર્શે છે અને સ્પર્શક $T_2$ એ $P$ અને $E$ ને અનુક્રમે $A_4$ અને $A_3$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ ચતુષ્કોણ $A_1 A_2 A_3 A_4$ નું ક્ષેત્રફળ $35$ ચોરસ એકમ છે.
$(B)$ ચતુષ્કોણ $A_1 A_2 A_3 A_4$ નું ક્ષેત્રફળ $36$ ચોરસ એકમ છે.
$(C)$ સ્પર્શકો $T_1$ અને $T_2$ એ $x$-અક્ષને $(-3,0)$ બિંદુએ મળે છે.
$(D)$ સ્પર્શકો $T_1$ અને $T_2$ એ $x$-અક્ષને $(-6,0)$ બિંદુએ મળે છે.

પરવલય $y^2 = 4ax$ ના બે પરસ્પર લંબ સ્પર્શકો અક્ષને $P_1$ અને $P_2$ માં મળે છે. જો $S$ એ પરવલયનું નાભિ હોય,તો $\frac{1}{SP_1} + \frac{1}{SP_2}$ ની કિંમત શોધો.

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ પર દોરેલો અભિલંબ અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1$ ને સ્પર્શે,તો તે અભિલંબના ઢાળનો વર્ગ કેટલો થાય?

શંકુ $x^2-(y-1)^2=1$ ના આલેખમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી ધન ઢાળવાળી એક સ્પર્શક રેખા છે. જો સ્પર્શબિંદુ $(a, b)$ હોય,તો $\sin^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$ ની કિંમત શોધો.

સ્તંભ $I$ માં આપેલા શંકુઓને સ્તંભ $II$ માં આપેલા વિધાનો/પદાવલિઓ સાથે જોડો.

સ્તંભ $I$	સ્તંભ $II$
$(A)$ વર્તુળ	$(p)$ બિંદુ $(h, k)$ નો બિંદુપથ જેના માટે રેખા $h x+k y=1$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=4$ ને સ્પર્શે છે
$(B)$ પરવલય	$(q)$ સંકર સમતલમાં બિંદુઓ $z$ જે $|z+2|-|z-2|= \pm 3$ નું સમાધાન કરે છે
$(C)$ ઉપવલય	$(r)$ શંકુના બિંદુઓનું પ્રચલ સ્વરૂપ $x=\sqrt{3}\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right), y=\frac{2 t}{1+t^2}$ છે
$(D)$ અતિવલય	$(s)$ શંકુની ઉત્કેન્દ્રતા $1 \leq x < \infty$ અંતરાલમાં છે
	$(t)$ સંકર સમતલમાં બિંદુઓ $z$ જે $\operatorname{Re}(z+1)^2=|z|^2+1$ નું સમાધાન કરે છે