$(0, \pi)$ માં સતત વિકલનીય વિધેય $\phi (x)$ જે $y' = 1 + y^2$ અને $y(0) = 0 = y(\pi)$ નું પાલન કરે છે,તે છે

બધા વર્તુળોના પરિવારને ધ્યાનમાં લો જેના કેન્દ્રો સીધી રેખા $y = x$ પર આવેલા છે. જો આ વર્તુળોના પરિવારને વિકલ સમીકરણ $P y^{\prime \prime} + Q y^{\prime} + 1 = 0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે,જ્યાં $P, Q$ એ $x, y$ અને $y^{\prime}$ ના વિધેયો છે (અહીં $y^{\prime} = \frac{dy}{dx}, y^{\prime \prime} = \frac{d^2y}{dx^2}$),તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A) P = y + x$
$(B) P = y - x$
$(C) P + Q = 1 - x + y + y^{\prime} + (y^{\prime})^2$
$(D) P - Q = x + y - y^{\prime} - (y^{\prime})^2$

વક્રોનું એવું કુળ શોધો કે જેથી કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પરના સ્પર્શક અને વક્ર $xy = c^2$ ના છેદબિંદુ પરના સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોય.

ધારો કે $\frac{dy}{dx} = \frac{ax - by + a}{bx + cy + a}$,જ્યાં $a, b, c$ અચળાંકો છે,તે $(2, 5)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું વર્તુળ દર્શાવે છે. તો આ વર્તુળથી $(11, 6)$ બિંદુનું લઘુત્તમ અંતર કેટલું છે?

$(1 + xy)y\,dx + (1 - xy)x\,dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

$\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x}{y^3 e^{y^2-5}}$ ના વ્યાપક ઉકેલ દ્વારા દર્શાવેલ દરેક વક્ર,$\frac{dy}{dx} + \frac{y^3 e^{y^2-5}}{x \log x} = 0$ ના વ્યાપક ઉકેલ દ્વારા દર્શાવેલ દરેક વક્રને $\theta$ ખૂણે છેદે છે. તો,$4\theta - \frac{\pi}{2} =$