એક ક્રિકેટ ફિલ્ડર ક્રિકેટના દડાને $v_{0}$ ની ઝડપથી ફેંકી શકે છે. જો તે $u$ ઝડપથી દોડતી વખતે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે દડો ફેંકે,તો નીચેના શોધો:
$(a)$ પ્રેક્ષક દ્વારા જોવામાં આવતા હવામાં દડાના પ્રક્ષેપણનો સમક્ષિતિજ સાથેનો અસરકારક ખૂણો.
$(b)$ ઉડ્ડયન સમય (Time of flight).
$(c)$ પ્રક્ષેપણ બિંદુથી દડો જ્યાં જમીન પર પડશે તે અંતર (સમક્ષિતિજ અવધિ).
$(d)$ તે ખૂણો $\theta$ શોધો કે જેના પર તેણે દડો ફેંકવો જોઈએ જેથી $(c)$ માં મળેલ સમક્ષિતિજ અવધિ મહત્તમ થાય.
$(e)$ જો $u > v_{0}$,$u = v_{0}$,અને $u < v_{0}$ હોય,તો મહત્તમ અવધિ માટે $\theta$ કેવી રીતે બદલાય છે?
$(f)$ $(e)$ માં મળેલ $\theta$ ની સરખામણી $u = 0$ (એટલે કે $45^{\circ}$) માટેના ખૂણા સાથે કેવી રીતે થાય છે?

(D) ધારો કે ફિલ્ડરનો વેગ $\vec{u} = u\hat{i}$ છે અને ફિલ્ડરની સાપેક્ષમાં દડાનો વેગ $\vec{v}_{rel} = v_{0}\cos\theta\hat{i} + v_{0}\sin\theta\hat{j}$ છે.
$(a)$ જમીનની સાપેક્ષમાં દડાનો વેગ $\vec{v} = (u + v_{0}\cos\theta)\hat{i} + (v_{0}\sin\theta)\hat{j}$ છે. અસરકારક ખૂણો $\alpha$ એ $\tan\alpha = \frac{v_{0}\sin\theta}{u + v_{0}\cos\theta}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{v_{0}\sin\theta}{u + v_{0}\cos\theta}\right)$.
$(b)$ વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_{y} = v_{0}\sin\theta$ છે. ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2v_{y}}{g} = \frac{2v_{0}\sin\theta}{g}$ છે.
$(c)$ સમક્ષિતિજ અવધિ $R = v_{x}T = (u + v_{0}\cos\theta)\left(\frac{2v_{0}\sin\theta}{g}\right) = \frac{2uv_{0}\sin\theta + v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}$ છે.
$(d)$ $R$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$\frac{dR}{d\theta} = 0$ લો: $\frac{d}{d\theta}\left[\frac{2uv_{0}\sin\theta + v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}\right] = 0 \Rightarrow 2uv_{0}\cos\theta + 2v_{0}^{2}\cos(2\theta) = 0 \Rightarrow v_{0}\cos(2\theta) = -u\cos\theta$.
$(e)$ $v_{0}(2\cos^{2}\theta - 1) = -u\cos\theta$ ઉકેલતા,આપણને $2v_{0}\cos^{2}\theta + u\cos\theta - v_{0} = 0$ મળે છે. $\cos\theta$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\cos\theta = \frac{-u + \sqrt{u^{2} + 8v_{0}^{2}}}{4v_{0}}$. જેમ $u$ વધે છે,તેમ $\cos\theta$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta$ વધે છે.
$(f)$ $u=0$ માટે,$\theta = 45^{\circ}$. જો $u > 0$ હોય,તો વધારાના સમક્ષિતિજ વેગ $u$ ને સરભર કરવા માટે $\theta < 45^{\circ}$ હોવો જોઈએ.